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For any $d\geq 1$, the self-join $\Gamma_\rho<\prod_{i=1 }^d\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ 凸ココンパクト表現 $\rho=(\rho_1, \cdots, \rho_d の$d$タプルによって形成されるクライン群$\Gamma$の)$. より正確には、$\mathcal P$ が $\Gamma_\rho$ 許容 $d$ 次元トーラス パッキングである場合、有界サブセット $E\subset \mathbb{C}^d$ に対して $\partial E$適切な実代数部分変数に含まれている場合、$$\lim_{s\to 0} { s^{\delta_{L^1}({\rho}) }} \cdot \#\{T\in \mathcal {P}: \mathrm{Vol} (T)> s,\, T\cap E\neq \emptyset \}= c_{\mathcal P}\cdot \omega_{\rho} (E\cap \Lambda_\rho ).$$ where $0<\delta_{L^ 1}(\rho)\le 2/\sqrt d$ is product $\prod_{i=1}^d \mathbb{H}^3$, $\Lambda_\rho\subset (\mathbb{C}\ cup\{\infty\})^d$ is $\Gamma_\rho$, and $\omega_{\rho}$ can be written explicitly as $\mathbb{C}^d\cap \Lambda_\rho Local finite Borel measure on$. The class of admissible torus packings we consider arises naturally from the Teichm\"{u}ller theory of Kleinian groups. Our work follows Oh-Shah's previous Expands the result of $d$-torus into the packing.

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